“中考题型变式与研究”结题报告

 “中考题型、习题变式与研究”从开始立项至今已近一学期，在这一学期中本组成员查阅了大量的资料，分类归析了近两年的中考变式题型，从解题与教学两个方面进行探索研究，逐步形成了此类习题的解题与教学策略，使学生从题海中跳出，增强学生的解题能力，发展学生的数学素质。本课题接近尾声，现对课题的研究总结如下：

一、课题研究的主要内容

中考变式题主要包括：一题多解变式、一题多变变式、多题一解（一法多用）变式和一题多用变式。具体研究的内容是：

1.所谓一题多解变式，就是对同一个数学问题，引导学生在所学的知识范围内尽可能多的提出不同的解题构想和方法，从而达到培养学生发散思维和总结规律、方法，提高解题能力。在教学中教师应积极引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。有些问题采用多种方法求解，可以暴露学生解题的思维过程，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。

例如“求证等腰三角形两腰上的高相等”学生可以通过证明高所在的三角形全等，也可以利用面积法来证明。这样引导学生对同一问题采取不同角度思考，使思维辐射展开，培养了思维的发散性。

再如：确定二次函数解析式的习题：“已知抛物线与x轴的两交点的坐标是（1，0）、（-3，0），与y轴交点的坐标是（0，-3），求这个二次函数的解析式。”通过探究、尝试，根据已有的知识可得到如下解法：

    解法1：已知三点用待定系数法设一般式，代入三点坐标，解三元一次方程，求出解析式，学生也比较熟悉。

    解法2：由于抛物线具有对称性，它与x轴的两个交点就是两个对称点，得到对称轴为x=-1，故设解析式为y=a(x+1)²+k，将两交点代入即可求得a、k的值，进而写出解析式。

    解法3：抛物线与y轴交点的坐标是（0，-3），设解析式为y=ax²+bx-3，知抛物线与x轴的两交点的坐标（1，0）、（-3，0），即可知是方程的两根x₁=1，x₂=-3，由根与系数的关系和对称轴得a、b的值，解得解析式。

    解法4：抛物线与轴的两交点的横坐标是1、-2，设解析式为y=(x-1)(x+2)，将（0，-3）代入就可以求出结果，干净利落，计算简便。

     案例反思：一步步下来，学生情绪激昂，有利调动学生的创造潜能。课堂气氛十分活跃，学生的思维得到开发和发展，他们积极思考，相互合作交流，踊跃发言，体现了学生为主体的教学思想。

2.一题多变变式，就是通过对某一题目进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变换等多角度、多方位的探讨，使一个题变成一类题，达到举一反三，触类旁通的目的，进而培养学生的良好思维品质及探索创新能力。

例如：在复习全等三角形判定的应用时，原题为：“已知：如图，AD//BC，点E是DC的中点，AE平分∠BAD.求证：BE平分∠ABC”。

对于课本上的例题和一些解题过程详尽、方法清晰的题目可以不必多讲，为               了对全等三角形判定定理的灵活应用，可以对原题适当变形。如果将此题逆向变式，改变题目的题设和结论，此题就变成了另一个题目。“已知：如图，AD//BC，BE平分∠ABC，AE平分∠BAD. ”

求证：点E是DC的中点

 有的学生思路为：如图一，延长AE交BC的延长线于点F。由AD//BC ,BE平分∠ABC，AE平分∠BAD.可得BE⊥AF,进而得到⊿ABE≌⊿FBE,推出AE=EF,再由⊿ADE≌⊿FCE得到结论。类比的学生很快得到第二种方法，如图二，延长BE交AD的延长线于点F。有的学生经过思考，这两种通过一题多解的变式训练，把平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形判定及性质定理有效的组合起来，从而巩固所学知识，完善自己的应变能力，训练学生思维的广度，是传统教学中所提倡的，也反映了学生思考问题的灵活性。

数学思维的独创性集中表现在学生能独立地发现问题、分析问题、解决问题，并能提出新的问题、新的见解和新的方法。运用一题多变的练习，有助于引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，更深刻地理解所学知识，促进和增强学生数学思维的独创性，也可以培养学生数学思维深刻性。

如：在上面一题多解的题目中，再次改变题目的题设和结论，结论仍然可以成立，通过学生的讨论，可以得出，在题设和结论的四个条件中，⑴AD∥BC  ⑵AE平分∠BAC  ⑶BE平分∠ABC  ⑷点E是DC的中点，只要取其中的三个条件，就可以证出第四个结论。从而得到了解这一类题目的规律，激发了学生学习的热情，提高了学生的运用能力。通过转换思维角度，培养了思维的独创性。

 再如：某家电商场送家电下乡，将某品牌电视机按进价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）的优惠价卖出，结果每台还获利150元。问这种电视机每台成本是多少元？

改变题目的题设和结论后，得到下面四个变式

变式1：某家电商场送家电下乡，将某品牌电视机标价为1750元，以8折（即按标价的80%）的优惠价卖出，结果仍获利150元。问这种电视机每台多少元？

变式2：某家电商场某品牌电视机成本价为1250元，以8折（即按标价

80%）的优惠价卖出，结果仍获利150元。问这种电视机每台多少元？

变式3：某家电商场某品牌电视机成本价为1250元，提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）的优惠价卖出。问这种电视机每台多少元？

变式4：某家电商场某品牌电视机成本价为1250元，提高40%后标价，折价销售后，结果每台仍获利150元。这种电视机每台多少元？

以上四个变式虽然改变了题目的题设和结论，而题目本身的实质没变，通过一题多变，教师有意识的引道学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从变中探求规律，比较它们的异同点，增强思维的深刻性。

3.多题一解变式，数学中有许多不同的分支，同一分支内又通常被划分为若干个单元。不同分支之间或是同一分支的不同单元之间，常常会出现许多内容上的相互转化与渗透，据此可以将某一单元的题目改变表达形式而变为另一单元题目，但题目的本质不变，解答方法相同。在近几年的中考中经常出现，利用对称思想，解决一类最小值问题。而且大多以压轴的形式出现，由于学生的“建模”能力不强，这类问题成为很多学生的“障碍”，我通过建模思想把这类问题划归为“将军饮马问题”和“将军饮马问题的推广”利用和构造对称图形解决求两条线段和、三角形周长、四边形周长等一类最小值问题。

比如在进行“轴对称”的复习时，就设计如下题组，经过题型变换，使学生牢固的树立多题一解的归类意识使所学的知识前后贯通，做到“以不变应万变”。

（1）如图，将军从点A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？（“将军饮马”问题）学生很容易完成这个题目。                    

（2）在铁路l的同侧有A、B两厂，要在路上建一个货场C，使A、B两场到货场C的距离之和最小。试在直线l上做出点C.

(3)如图，打“斯洛克”台球，当主球A与目标球B之间有障碍球C时，为了击中目标球，选择用主球A击打台球桌的边沿使之反弹后再击中目标球B, 试确定桌边的击打球。

（4）在平面直角坐标系内，有点A（1，2），点B（3，4），式在x轴上求一点C,使AC+BC最小

（5）如图，已知点A（-4，8）和点B(2,n)在抛物线y=ax上，试在x轴上求一点Q,使AQ+BQ最小。

（6）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，与y轴交于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使三角形QAC的周长最小？若存在，式求出点Q的坐标;若不存在，试说明理由

    从表面上看，这6道题似乎彼此互不相关，但通过解答，学生会发现其实质是一样的，有一条隐线贯穿于其中——“将军饮马问题”从而使学生再次深入领会“万变不离其中”的道理。

4.一题多用变式，就是以中考题为素材，探讨该习题及其变通形式的应用，挖掘重点习题的解题功能，从而提高学生的解题能力。一题多用的教学策略，实际上注重对基本重点习题教学后的一个反思过程，具体包括：总结—抽象—推广—应用。在复习正方形的教学中设计了这样的一组训练题：

例1：已知：正方形ABCD，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE＝DF＋BE

由于问题比较简单，估计学生很快给出解答。而后提出一个问题：例1是一个非常典型的问题，与它相关的问题也有许多，我已找到了几个，请你们再找几个，看谁找得多，而且解答简单完整。学生举出了这样几个问题（在学生共同讨论及教师的指导下得出）：

例2、已知：正方形ABCD，E为BC上一点，F为CD上一点，

（1）若∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF；

（2）当AB＝1，∠EAF＝45°时，求：BE＋DF＋BE×DF的值；

（3）若正方形ABCD的边长为1，△CEF的周长为2，求：∠EAF的度数；

（4）若正方形ABCD的边长为1，A到EF的距离1，求：∠EAF的度数；

（5）若两条与边平行的线段EF、GH将正方形分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试求：∠HAF的度数。

（6）若E是BC上一点，过AE上一点P作AE的垂线分别交BC、DC于点F、G，且AF为∠BAE的平分线，求证：AG平分∠DAE。

（7）若正方形ABCD的边长为1，△CEF得的周长为2，求：①∠EAF的大小；②△AEF周长的最小值。

从学生举的7个问题和详尽的解答中，耳目一新，也开了眼界，激发了学生学习数学的兴趣。真正体会到学生了不起，学生具有无限地创造力，要努力去发现和开发学生的创造力。

5、中考试题的研究，除对传统的习题进行变式外，重点对新题型探究问题进行研究（剪切拼接问题，阅读理解专题，运动中的动点问题，方案设计，极值问题）。需要说明的是，中考题的多种变式，不是彼此孤立的，而是相互交叉渗透的，同一题目的变式中常常是各种变式相伴而行。因此在平时教学中应注意各种变式的交互应用。

二、课题研究的成果：

1、通过变式，用“好”用“活”课本例题、习题，提高例习题的教学功效

       在平时的数学教学中，要立足于教材，重视教材中例题、习题的使用。现在新的课程理念倡导“从教教材，到用教材”。很多教师产生了错误的理解，不重视了教科书的作用，认为教材中例题、习题“太简单”，难以应付考试，从而抛开教材，投入大量精力去讲题和学生做题，学生在教师的恶补之下，对数学的学习态度越来越消极，学习的信心越来越弱，这种脱离教材例习题的“广种簿收”的做法是低效的。纵观近年中考试题，绝大部分题目源于教材的例题和习题，即使是综合题也大多是课本例习题的组合、加工与拓展，充分体现例习题的基础作用和示范作用。主要目的也就在于引导大家用好教材中的例题和习题，以切实减轻学生的学业负担。

       有效的数学教学的一个原则是用“好”、用“活”课本例题习题。课本的例习题是教材编写者精选的，有丰富的内涵和广阔的外延，即其对理解、巩固知识、培养能力和解题策略形成都具有一定典型作用和潜在的价值。教学中教师要用好课本的例习题，求解过程的分析思路要详尽，解题要规范，充分发挥教材的例题和习题的基础性和示范性，学后能举一反三、触类旁通的效果。当然还要精心设计课本的例习题，使之成为有“活”性的题目，使解题涉及的知识和方法得到延伸，达到对基础知识的系统掌握，从而使学生跳出“题海”。教学时引导学生通过观察、比较、猜想、讨论、引申、拓展，这是一种不走极端而达到集大成的智慧。

2、变式习题的研究，扩大学生知识面，激发学生学习数学的兴趣

孔子说过：“知之者莫如好之者，好之者莫如乐之者”。教学的过程应该成为学生的一种愉悦情绪和情感体验过程。在不改变数学问题的前提下，根据学生的兴趣、态度和关注焦点，尽可能要给课本的例题、习题设计真实的问题情境，加强例习题与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，适当的问题情境能使学生从旁观者转变成为参与者，提高了学生对题目的关注程度。新颖自然的问题情境能有效激发学生解题欲望，而且能够有效考查学生数学思维能力和数学意识，培养学生将简单的实际问题转化为数学问题的能力，为开展例题教学提供有利支撑。比如：“求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形。”在解决完这个问题后，又让学生继续探索：顺次连结对角线相等的四边中点得到的是什么图形？顺次连结对角线互相垂直的四边形的四边中点得到的是什么图形？继而巩固提问：连结等腰梯形的四边中点得到的是什么图形？连结菱形的四连中点得到的是什么图形？正方形的呢？等等。最后又让学生对比中点三角形的面积等于原三角形面积的四分之一，总结出了中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。我觉得通过对这一习题的变式训练，学生对中点四边形这个知识点一定会记忆深刻，培养学生多角度、全方位考虑问题的能力，非常有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。变式训练是一种很有效的方法。通过变式训练，可以从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力。

当然，创设情境时必须注意问题的创设要围绕教学目标，有的放矢的原则，否则易受情境的干扰，数学的本质不易从背景中揭示出来，情境应具有探究性与趣味性。教师可结合例习题内容，用学生熟悉的生活经验作背景，或改变题目呈现的方式，加强数学与生活的联系，加强前后知识之间的联系，通过探索新知识，扩大了知识面，增强学好数学的信心。

       3、注重变式，挖掘例习题的思维价值，提高学生的思维品质

       例习题的变式教学就是对例题和典型习题要进行再创造，从解答本题转向类似的问题提出与解答，进一步固化学生的认知结构，引导学生从多角度，多侧面，多层次，多结论等方面去认识知识，从而实现了知识的整合，提高学生的思维品质，发展解题能力。数学例习题的变式主要包括一题多解、一题多变及一法多用等。寻求一题多解，是培养学生思维开阔性和灵活性的有效手段。例习题分析时，据条件和结论的不同角度分析、思考，必能突破思维障碍，得以用多种方法解答一个题目，一方面有利于巩固学生学过的知识，同时又打开学生思维的大门，同时对解题方法的比较又优化了解题。

例如在解决习题：“一条抛物线过点（-1，0），（3，0），且最大值是3，求这条抛物线的解析式。”时，通过探究、尝试，根据已有的知识可得到如下解法： 

 解1：已知三点用待定系数法设一般式，代入三点坐标，解三元一次方程，学生也比较熟悉。

        解2：由于抛物线具有对称性，它与轴的两个交点就是两个对称点，得到对称轴，设解析式，将两交点代入即可求得的值。

        解3：抛物线与轴交点的纵坐标，设解析式，知抛物线与轴的两交点的横坐标，即可知是方程的两根，由根与系数的关系解得，。

 解4：抛物线与轴的两交点的横坐标，设解析式，代入就可以求出结果,干净利落，计算简便。

通过这四种解法的学习，学生不但明白顶点式、交点式和一般式如何使用，而且也明白了它们三者之间是可以互化的，只是一种函数的三种不同的表达形式。使学生对求二次函数的解析式的题目头脑中有了清晰的认识，相信通过此题的讲解，学生以后再遇到求二次函数的解析式的题目时一定会有的放矢，不会无所适从。

      案例反思：一步步下来，学生情绪激昂，有利调动学生的创造潜能。课堂气氛十分活跃，学生的思维得到开发和发展，他们积极思考，相互合作交流，踊跃发言，体现了学生为主体的教学思想。

        课堂中对例习题的设计要由易到难，由基本到复杂，教师必须考虑到练习的难度和层次性，必须适合学生现有水平并兼顾到学生的“最近发展区”。同时教师设计的习题既要让学生体验成功感，培养学习数学的兴趣和信心，又不至于因练习太易而失去认真练习的动力。教师在研读教材时要从整体和全局的高度把握教材，了解教材的结构、地位和前后联系，挖掘例习题蕴含的深层潜力，要解决问题更要提出问题，其体方法有变式练习、一题多解、改变成开放题、探索题等。

4、变式反思，加强学法指导，提高学生的解题能力

       笛卡儿说：“我所解决的每一个问题将成为范例，以用于解决其它问题。”丰富而有条理的知识储备是解题的至宝，学生往往对定义、定理、法则是比较熟悉的，但不善于发现和应用已解决的问题作范例去解决新问题。在教学中，从应用角度去发挥例题、习题的功能，重视例习题的结论和揭示的内在联系，学以致用，挖掘例题、习题结论的利用价值，以题攻题，提高应用水平，体现针对性原则。其次要引导学生注重对解题过程的反思，要教会学生解完题后进行反思：（1）解法是怎样想出来的？关鍵是哪一步？（2）能找到更好的解题途径吗？这个解题方法能推广吗？（3）通过这个例题的解答，我们学到了什么？著名数学家弗赖登塔尔指出：“反思是数学活动的核心和动力。”我们要让学生养成反思的习惯。反思解题所用知识点，能使学生加深对数学知识间的理解，逐步形成一个条理化、有序化、网络化的知识体系，促使在解题时，快速切入，有效解题。经过反思，领略其中的微妙，发现其中的规律，做到明一类，得一法，发展学生解题能力。

当然变式不是盲目的变，应抓住问题的本质特征，遵循学生认知心理发展，根据实际需要进行变式。不能无节制的乱用变式，题目需要变式强化时，则变；不必题题皆变。而且同一类型题目的多种变式训练中有其同共点和不同点，教师在教学过程中要注意分析引导，让学生学会比较，学习分类，学习归纳总结，使学生加深对知识的理解和应用。学生在平时复习过程中，接触到的往往只是变式的某一类型，如果教师没有及时对变式的其它类型进行比较，学生往往知其一而不知其二，当碰到变式的其它类型时，原有的解题思路就会对新的变式产生干扰，因此教师要注意变式的全面性，需要进行变式训练的题目，尽量进行变式训练。当然，教师讲课时也不可能面面俱到，因此还需要平时教师在进行变式训练的过程中，注意多向变通、推理、归纳、探索的思维能力。只在这样，学生在遇到新异知识时，才会分析，才会推理，才会求解。

变式是为教学服务的，不能为了“变”而变，变式教学要遵循变式的原则，运用变式题教学时要符合学生的认知规律，在了解学生的知识结构的前提下精心设计变式习题，所设计的变式问题应符合学生的“最近发展区”，变后教师应及时引导学生进行总结反思，发现规律让学生学习的方法，使之逐步成为学生的自觉行为。使学生不断探索，从而培养学生的创新精神。